Generación de mallas óptimas

Generación de mallas óptimas

Abdul Abner Lugo Jiménez
Por: Abdul Abner Lugo Jiménez

El presente artículo fue el Examen de Candidatura, presentado para optar al título de Doctor en Matemáticas, estudios que realizo en la Universidad de Los Andes. Esté proyecto esta desarrollado en el área de matemáticas, es una investigación enmarcada en el Grupo Ciencias de la Computación. Espero que si se toman un poco de tiempo en leerlo, les pueda gustar e interesar el tema en cuestión.

© Abdul Abner Lugo Jiménez. Todos los derechos reservados.


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Generación de mallas óptimas basadas en esquemas de discretización mimética para problemas de contorno.

"Un matemático que no es en algún sentido un poeta no será nunca un matemático completo."
Karl Weierstrass (1815–1897)

Las leyes del universo están escritas en el lenguaje de las matemáticas. El álgebra es suficiente para resolver muchos problemas estáticos, pero la mayoría de los fenómenos naturales más interesantes involucra cambios descritos por ecuaciones que relacionan cantidades que cambian con respecto a una variable t independiente. 

Es natural que las ecuaciones que involucran estos cambios se usen frecuentemente para describir el universo cambiante. Cada una de estas ecuaciones que relaciona una función desconocida con una o más de sus derivadas la llamamos una ecuación diferencial. Ellas juegan un rol primordial en muchas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la economía, la biología, entre otras.

El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene tres objetivos principales:

  1. Descubrir la ecuación diferencial o el sistema de ecuaciones diferenciales que describe una situación física específica.
  2. Encontrar –exacta o aproximadamente– la solución apropiada de esa ecuación o sistema de ecuaciones.
  3. Interpretar la solución encontrada.

El primer objetivo se conoce como modelado matemático, que es crucial para formular una ecuación o sistema de ecuaciones que describa el problema físico que se quiere modelar,el cual Involucra lo siguiente:

  • La formulación en términos matemáticos de un problema físico derivado de un fenómeno físico.
  • La construcción de un modelo matemático.

Así, un modelo matemático consiste en una lista de variables que describen la situación dada, junto con una o más ecuaciones que relacionen estas variables que se conocen o que se asume que son ciertas.

El segundo objetivo, consiste en resolver estas ecuaciones a través del análisis matemático. En las matemáticas puras, las ecuaciones diferenciales se estudian desde perspectivas diferentes; la mayoría de las cuales, concernientes al conjunto de las soluciones que son funciones que satisfacen las ecuaciones. Sólo las ecuaciones diferenciales más simples se pueden resolver mediante fórmulas explícitas; sin embargo, hay maneras de lograr determinar algunas propiedades de las soluciones de las ecuaciones diferenciales más complicadas, sin tener que hallarlas.

Finalmente, y no menos importante, el tercer objetivo es interpretar los resultados matemáticos para tratar de dar una respuesta a la pregunta original en el mundo real. Como, en general, la solución exacta de los modelos matemáticos es desconocida, se hace necesario recurrir a métodos numéricos para su aproximación; así, se introduce un error de aproximación al sustituir la solución del modelo por la solución del método numérico.

Objetivo de la Investigación

El objetivo central, es crear algoritmos adaptativos para generar mallas asintóticamente convergentes a las mallas óptimas, para obtener soluciones óptimas, utilizando algunos métodos de movimiento de mallas adecuados para los casos de estudio, usando aproximación de soluciones a través esquemas de aproximación numérica, miméticos, a problemas de contorno.



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