Proceso de Adaptabilidad de Soluciones de Ecuaciones Diferenciales

Proceso de Adaptabilidad de Soluciones de Ecuaciones Diferenciales

Abdul Abner Lugo Jiménez
Por: Abdul Abner Lugo Jiménez

Esté artículo esta desarrollado en el área del Análisis Numérico, en la subárea de Estimación de Error para métodos numéricos, específicamente adaptatividad de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales. Espero que si se toman un poco de tiempo en leerlo, les pueda gustar e interesar el tema.


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Estimación del error y adaptatividad en esquemas miméticos para problemas de contorno

Resumen

En este artículo, se presenta el primer proceso adaptativo que define una malla óptima para calcular la solución de problemas de contorno usando métodos numéricos miméticos; hasta el presente, no existía en la literatura un algoritmo que cumpliera dicho fin. La estimación del error se hace a partir de la versión discreta del operador gradiente. La experimentación numérica evidencia el buen comportamiento del procedimiento al aplicarlo a problemas de contorno.

Introducción

En las últimas dos décadas, un nuevo tipo de esquemas conservativos en diferencias finitas, conocido originalmente como operadores de soporte, y posteriormente como métodos miméticos, ha mostrado ventajas ante los esquemas clásicos de diferencias finitas en la resolución de diversos problemas que surgen en la ingeniería y las ciencias. Sin embargo, poco o nada se ha dicho sobre como definir un proceso adaptativo que arroje una malla que resulte óptima para encontrar una solución que cumpla con cierta precisión o tolerancia de error que imponga el problema a resolver.

Un primer intento por definir un proceso adaptativo fue dado por Batista y Castillo en el 2009. En éste, se propone una técnica para construir los operadores gradiente y divergente sobre mallas estructuradas no uniformes. No obstante, para regir el proceso adaptativo, se define una función de mallado, denominada fms(x) (mesh-size function), lo cual resulta nada práctico, pues para definir dicha función, es vital conocer las regiones donde se producirán los mayores errores o regiones donde se deben colocar más nodos. En otras palabras, la función fms(·) sólo resulta útil para validar el buen comportamiento de los operadores discretos en mallas estructurales no uniformes. Aparte de esta cita, los autores ignoran la existencia de cualquier otra referencia con resultados satisfactorios.

En este trabajo, se implementa un nuevo procedimiento adaptativo, en el contexto de los operadores miméticos desarrollados por Castillo y Grone, que define una malla óptima para calcular la solución de problemas estacionarios utilizando los operadores discretos no uniformes. Para definir una estimación del error cometido en la aproximación mimética se utiliza la discretización mimética del operador gradiente sin hacer referencia a la solución analítica del problema de contorno, la cual generalmente es desconocido. En otras palabras, se hace una estimación de error en la derivada de la solución, y no en la solución. Se debe resaltar que este cálculo no amerita trabajo adicional alguno, dado que el gradiente ha sido definido previamente para definir la solución del problema. Adicionalmente, se puede decir que el proceso propuesto para la estimación del error sigue las ideas del estimador residual SPR (superconvergent patch recovery) para el suavizado de tensiones (derivadas), y en el caso de desplazamientos (incógnita del problema); ambas versiones implementadas para el caso del método de los elementos finitos.

La estimación del error y el algoritmo adaptativo son presentados para problemas unidimensionales. La extensión a problemas estáticos multidimensionales en mallas estructuradas esta en proceso de desarrollo. Por otro lado, el procedimiento para el caso de mallas no estructuradas de elementos cuadriláteros representa, hoy en día, un problema abierto.

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